Експоненціальний розподіл втрат у страхуванні

Для страхової компанії ризик втрати, що приймається на страхування - це негативна по своїх можливих економічних наслідках випадкова величина. Значення її характеристик дозволяє дати їй вартісну оцінку, а також - прогноз фінансового стану компанії. Нехай є фактичні значення збитку її, який був понесений однаковими об'єктами в результаті страхового випадку впродовж деякого часу. Тоді можна вважати, що відомі вибіркові оцінки для середнього значення і дисперсії випадкової величини $Y$, що описує можливі втрати в результаті страхового випадку. Тоді,виникає задача підбору гіпотетичного розподілу $f_{Y}(x)$, що найкращим чином відповідає фактичним даним. У актуарній літератрі застосовуються розподіли для опису за одним договором і по одному страховому випадку.

Основний інструмент актуарних розрахунків

Це теорія ймовірностей, оскільки застраховані ризики є випадковими величинами. Тому при здійсненні страхових операцій взагалі, а при актуарних розрахунках зокрема, доводиться збирати, обробляти і оцінювати випадкові величини. Потім на основі отриманих результатів розраховується ціна страхових продуктів і розмір страхових платежів. Проте використання тільки теорії ймовірності не в змозі надати необхідні цифрові дані для практичного використання страхових операцій. Вони,в свою чергу, можуть бути отримані на основі спостережень. Під випадковою подією у страхуванні розуміють страховий випадок, що може відбутися чи не відбутися. При знаходженні ймовірності $P(A)$ настання страхової події $A$ не можна користуватися класичним означенням. В цьому випадку користуються статистичним означенням, при якому під ймовірністю $P(A)$ розуміють число, навколо якого коливається відносна частота настання події $A$ в довгих серіях експерименту (відносна частота - відношення числа випробувань, у яких подія $A$ з'явилася, до загального числа проведених випробувань). Розглядають дискретні та неперервні випадкові величини. у страхуванні до дискретних належать - кількість укладених договорів із певного виду страхування, кількість страхових випадків та поданих згідно з ними запитів про виплату відшкодування; до неперервних - загальний обсяг відповідальності згідно з укладеними договорами, а також часові показники: проміжки часу між укладанням договорів страхування та виплатою страхового відшкодування за окремими взятими договорами. Випадкові величини описуються законами або функціями розподілу ймовірностей та певними числовими характеристиками.

Експоненціальний розподіл

Це розподіл неперервної випадкової величини $Y$ з параметром $\lambda >0$ , заданий законом:

$f_{Y}(x)=\left\{{\begin{matrix}\lambda \,e^{-\lambda (x-x_{0})}&,\;x\geq x_{0},\\0&,\;x<x_{0}.\end{matrix}}\right.$.

Щільність розподілу

$f_{Y}(x)=\lambda \,e^{-\lambda (x)};x\geq 0$.

Середнє значення і дисперсія

$EY={1 \over \lambda }$

$VarY={1 \over \lambda ^{2}}$

Для експоненціально розподіленої величини середнє дорівнює середньоквадратичному відхиленню, що є доволі жорсткою умовою. Відзначимо, що, припускаючи експоненціальний розподіл для втрат, ми таким чином маємо на увазі можливість катастрофічно великих значень збитків (немає обмеження на Х зверху). Проте, щільність експоненціального розподілу є швидкою спадаючою функцією, що робить імовірність великих збитків нікчемно малою. Характерна межа експоненціального розподілу - значна кількість невеликих позовів і можливість рідкісних дуже великих позовів, тобто воно є асиметричним і "довгохвостим".

Приклад застосування експоненціального розподілу

Одна з найбільш уживаних моделей у страховій математиці – це класична модель ризику. У цій моделі розміри виплат, що їх проводить страхова компанія, утворюють послідовність незалежних випадкових величин, однаково розподілених з функцією розподілу $P(x)$. Припустимо, що $P(x)$ має експоненціальний розподіл, причому середня величина позову $M=1$ , тобто $P(x)=1-e^{-x}$; $x>0$. Тоді ймовірність банкрутства $W(u)=(1/1+Oi)*e$, де $Oi$ - відносна страхова надбавка,$u$ - початковий капітал. У випадку, коли виплати страхової компанії мають не експоненціальний розподіл, вказати точну формулу для ймовірності банкрутства $W(u)$ практично неможливо.

Див.також

• Розподіл Парето для втрат в страхуванні
• Експоненційний розподіл
• Гамма розподіл втрат в страхуванні
• Ровномірний розподіл втрат в страхуванні

Джерела

• Козьменко О. В. Актуарні розрахунки: навчальний посібник/О. В. Козьменко.-Суми: Університетська книга,2011-224с.
• Кінаш О.М. Основи актуарних розрахунків/Кінаш О.М., Сороківський В.М., Сороківська М.В. - Львів: Навчально-методичний посібник, 2012